Question

3．已知拋物線C₁：y=ax²-4ax-5（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸；
（2）①試說明無論a為何值，拋物線C₁一定經(jīng)過兩個定點(diǎn)，并求出這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②將拋物線C₁沿這兩個定點(diǎn)所在直線翻折，得到拋物線C₂，直接寫出C₂的表達(dá)式；
（3）若（2）中拋物線C₂的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入解析式，即可求得拋物線與x軸交點(diǎn)；
（2）①化簡拋物線解析式，即可求得兩個定點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可解題； 
        ②根據(jù)拋物線翻折理論即可解題；
（3）根據(jù)（2）中拋物線C₂解析式，分類討論y=2或-2，即可解題；

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，拋物線解析式為y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴對稱軸為x=2；
∴當(dāng)y=0時，x-2=3或-3，即x=-1或5；
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（5，0）；

（2）①拋物線C₁解析式為：y=ax²-4ax-5，
整理得：y=ax（x-4）-5；
∵當(dāng)ax（x-4）=0時，y恒定為-5；
∴拋物線C₁一定經(jīng)過兩個定點(diǎn)（0，-5），（4，-5）；
②這兩個點(diǎn)連線為y=-5；
將拋物線C₁沿y=-5翻折，得到拋物線C₂，開口方向變了，但是對稱軸沒變；
∴拋物線C₂解析式為：y=-ax²+4ax-5，

（3）拋物線C₂的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，
則x=2時，y=2或者-2；
當(dāng)y=2時，2=-4a+8a-5，解得，a=$\frac{7}{4}$；
當(dāng)y=-2時，-2=-4a+8a-5，解得，a=$\frac{3}{4}$；
∴a=$\frac{7}{4}$或$\frac{3}{4}$；

點(diǎn)評 本題考查了代入法求拋物線解析式的方法，考查了拋物線翻折后對稱軸不變的原理，考查了拋物線頂點(diǎn)的求解．