Question

4．在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，連接AC、BC，AC=BC，AB=CD．
（1）如圖1，求證：BE平分∠CBD；
（2）如圖2，F(xiàn)為BC上一點，連接AF交CD于點G，當∠FAB=$\frac{1}{2}$∠ACB時，求證：AC=BD+2CF；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若S_△ACF=S_△CBD，⊙O的半徑為3$\sqrt{6}$，求線段GD的長．

Answer 1

分析 （1）由AB=CD，得到$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，由AC=BC，得到$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，于是得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，根據(jù)圓周角定理即可證得結(jié)論．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠CBA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CBA+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°推出AF⊥CH，得到∠ACB=∠AHC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ACB+∠ADB=180°，等量代換得到∠AHB=∠ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=BH，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到AC∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBK=∠ACB，∠CKB=∠AFC，推出△AFC≌△CKB，于是得到S_△AFC=S_△CKB=S_△CBD，等量代換得到AC=3CF=3BD，設BD=CF=k，則AC=BC=3k，BF=2k，根據(jù)勾股定理得到AF=2$\sqrt{2}$k，由圓周角定理得到∠CAM=90°，解直角三角形得到AM=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$k，根據(jù)勾股定理列方程得到AC=12，CF=4，AF=8$\sqrt{2}$，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=CD，
∴$\widehat{ADB}$=$\widehat{CBD}$，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∵AC=BC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ABD，
∴BE平分∠CBD；

（2）證明：如圖2，在線段BF上取點H，使FH=FC，連接AH，AD，
∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，
∵在△ABC中，∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，
∴∠CBA+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°，
∵∠FAB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FAB+∠CBA=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥CH，
∵CF=FH，
∴AC=AH，
∴∠ACB=∠AHC，
∵A、C、B、D四點在⊙O上，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∵∠AHC+∠AHB=180°，
∴∠AHB=∠ADB，
∵∠ABC=∠ABD，AB=AB，
在△AHB與△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠ADB}\\{∠ABH=∠ABD}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△AHB≌△ADB，
∴BD=BH，
∵AC=BC=CF+FH+HB，
∴AC=BD+2CF；

（3）解：如圖3，過點C作CK⊥BD于點K，作直徑CM，連接AM，
∵∠CBA=∠CAB=∠ABD，
∴AC∥BD，
∴∠CBK=∠ACB，∠CKB=∠AFC，AC=BC，
在△AFC與△CKB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBK=∠ACB}\\{∠CKB=∠AFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△CKB，
∴S_△AFC=S_△CKB=S_△CBD，
∴BD=BK=CF，
∵AC=BD+2CF，
∴AC=3CF=3BD，
設BD=CF=k，則AC=BC=3k，BF=2k，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF=2$\sqrt{2}$k，
在Rt△AFB中，tan∠FBA=$\frac{AF}{BF}=\sqrt{2}$，
∵CM為⊙O的直徑，
∴∠CAM=90°，
∵∠CMA=∠CBA，
在Rt△ACM中，AC=3k，tan∠CMA=$\sqrt{2}$，CM=6$\sqrt{6}$，
∴AM=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$k，
由勾股定理得：（3k）²+（$\frac{3}{2}\sqrt{2}k$）²=（6$\sqrt{6}$）²，
∴k=4，
∴AC=12，CF=4，AF=8$\sqrt{2}$，
在Rt△ACF中，tan∠CAF=$\frac{CF}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，tan∠ACD=$\sqrt{2}$，AC=12，
∴CG=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$，
在Rt△AFB中，AF=8$\sqrt{2}$，F(xiàn)B=8，
由勾股定理得：AB=CD=8$\sqrt{3}$，
∴DG=$\frac{28\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，角平分線的定義，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．