Question

17．已知函數(shù)y=（m-1）x²+x-m+2（m為常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有交點；
（2）當(dāng)m為何值時，函數(shù)圖象過原點，并指出此時函數(shù)圖象與x軸的另一個交點；
（3）在（2）的情況下，怎樣平移使得頂點落在x軸上，直接寫出平移前后圖象、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）分類討論m=1或m≠1時，函數(shù)圖象與x軸的交點情況；
（2）根據(jù)函數(shù)y=（m-1）x²+x-m+2過原點求出m的值，進而求出函數(shù)圖象與x軸的另一個交點；
（3）首先求出函數(shù)y=x²+x的頂點坐標(biāo)，然后結(jié)合平移知識即可求出平移前后圖象、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積．

解答 （1）證明：∵若m=1時，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有交點，
若m≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，y=（m-1）x²+x-m+2
△=1-4（m-1）（2-m）=（2m-3）²≥0，
∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有交點；

（2）解：∵函數(shù)y=（m-1）x²+x-m+2過原點，
∴-m+2=0，
∴m=2，
∴y=x²+x，
令y=x²+x=0，
解得x=0或x=-1，
∴函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為（-1，0）；

（3）解：∵y=x²+x，
∴y=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴頂點為$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}）$，
∴函數(shù)的圖象向上平移$\frac{1}{4}$個單位頂點落在x軸上，
圍成部分面積利用平移轉(zhuǎn)化成平行四邊形PQMN，面積為$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象的平移的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及割補法求不規(guī)則圖形的面積，此題難度一般．