Question

19．已知二次函數(shù)y=ax²-3ax+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACB=90°，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在線段BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BCM的面積最大？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在二次函數(shù)y═ax²-3ax+2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCP與△ABC相似？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)C坐標(biāo)，證明△AOC∽△COB，得出OA•OB=4，由根與系數(shù)的關(guān)系：x₁•x₂
=$\frac{c}{a}$列式求出a的值，寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式；
（2）過(guò)M作x軸的垂線，將△BCM分成了兩個(gè)同底邊的三角形，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則N（a，0），表示出DM的長(zhǎng)，利用面積公式代入求出△BCM的面積=△DCM的面積+△BDM的面積，得出一個(gè)二次函數(shù)，求最值即可；
（3）分四種情況進(jìn)行討論：因?yàn)椤鰽CB是直角三角形，且兩直角邊的比為1：2，所以使△BCP與△ABC相似時(shí)，△BCP必有一個(gè)角是直角，當(dāng)∠BPC為直角時(shí)，可利用直角所對(duì)的圓周角是直角畫(huà)輔助圓構(gòu)建直角△BCP，即圖3和圖4；因此當(dāng)三個(gè)頂點(diǎn)分別是直角時(shí)，列式進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)只有一種情況成立，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）對(duì)稱軸x=$\frac{3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
把x=0代入y=ax²-3ax+2，得y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線與x軸交點(diǎn)均在x軸的正半軸，
∴△BAC為鈍角三角形，
∴a＞0不成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，如圖1所示，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
∴OC²=OA•OB，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴OC=2，
∴OA•OB=4，
∴$\frac{2}{a}$=-4，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）存在，
如圖2所示：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，MN交BC與點(diǎn)D，
∵令y=0得：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得：x=-1或x=4，
∴點(diǎn)B（4，0），
∴OB=4，
∴tan∠CBO=$\frac{1}{2}$，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則N（a，0），
∴BN=4-a，
∴DN=$\frac{1}{2}$NB=2-$\frac{1}{2}$a，
∴DM=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-2+$\frac{1}{2}$a=-$\frac{1}{2}$a²+2a，
∴△BCM的面積=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$a²+2a）=-a²+4a=-（a-2）²+4，
∴當(dāng)a=2時(shí)，△BCM的面積有最大，
∴M的坐標(biāo)為（2，3）；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，a）．
分四種情況討論：
①當(dāng)△PCB∽△CAB時(shí)，如圖3，∠ACB=∠BPC=90°，
∴∠ABC=∠CBP，
∵BC=BC，∠COB=∠CPB，
∴△COB≌△CPB，
∴PB=OB=4，
∵BQ=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：PQ=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{39}}{2}$），
②當(dāng)∠BPC=90°，點(diǎn)P在線段BC的下方時(shí)，如圖4，
分別過(guò)P、B向y軸、x軸作垂線FG、BG，
則△CFP∽△PGB，
∵△BCP與與△ABC相似，
∴$\frac{FC}{PG}=\frac{FP}{BG}$=2或$\frac{1}{2}$，
即$\frac{2-a}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{-a}$=2或$\frac{1}{2}$，
此方程無(wú)解；
③如圖5，延長(zhǎng)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則∠PCB=90°，
根據(jù)對(duì)稱性可知：PN是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∴∠CAB=∠ABP，
∴∠CAB≠∠CBP，
∵tan∠CAB=$\frac{CO}{AO}$=2，
∴∠CAB≠60°，
∴∠CAB≠∠CPB，
∴此種情況△BCP與與△ABC不相似；
④如圖6，當(dāng)∠CBP=90°時(shí)，
∵∠CBO=∠OBP=90°，∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠OBP=∠OCB，
∵∠COB=∠PNB=90°，
∴△COB∽△BNP，
∴$\frac{CO}{BN}=\frac{BC}{PB}$，
∴$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{BC}{PB}$，
∴$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△BCP與△ABC不相似，
綜上所述，當(dāng)P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{39}}{2}$）時(shí)，△BCP與與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查出了二次函數(shù)的性質(zhì)和利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)有一個(gè)相同的字母系數(shù)時(shí)，根據(jù)公式可以求出對(duì)稱軸；另外，本題求三角形面積的最值問(wèn)題，想辦法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求；對(duì)于兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊不確定的情況下，要分情況進(jìn)行討論．