Question

7．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，
△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）△AOD能否為等邊三角形？為什么？
（4）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=DC，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結(jié)合圖形計(jì)算即可；
（3）用反證法，假設(shè)△AOD能否為等邊三角形，根據(jù)題意證明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推出矛盾；
（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況，根據(jù)等腰三角形的判定定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等邊三角形；
（2）△AOD是Rt△．
理由如下：
解：∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△；
（3）不能．理由：
解：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．
若△AOD為等邊三角形，
則∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，
∴∠ADC=∠α=120°．
又∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°＜360°．
∴△AOD不可能為等邊三角形；
（4）∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①當(dāng)∠AOD=∠ADO時(shí)，190°-α=α-60°，∴α=125°．
②當(dāng)∠AOD=∠OAD時(shí)，190°-α=50°，∴α=140°．
③當(dāng)∠ADO=∠OAD時(shí)，α-60°=50°，∴α=110°．
綜上所述：當(dāng)α=110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相關(guān)的判定定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．