Question

11．如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．
（1）求線段EF的長；
（2）求四邊形AFDE面積．

Answer 1

分析 （1）首先連接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF=5，進(jìn)而得出BE=AF=12．然后在Rt△AEF中，運(yùn)用勾股定理可將EF的值求出；
（2）由（1）知△AED≌△CFD，根據(jù)全等三角形的面積相等得出S_{四邊形AFDE}=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接AD．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠CDF．
在△AED與△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠FDC}\\{AD=CD}\\{∠EAD=∠C}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF=5． 
∵AB=AC，
∴BE=AF=12．
在Rt△AEF中，∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169，
∴EF=13；

（2）由（1）知△AED≌△CFD，
所以S_{四邊形AFDE}=S_△AFD+S_△AED
=S_△AFD+S_△CFD
=S_△ADC
=$\frac{1}{2}$S_△ABC
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB²
=$\frac{1}{4}$（12+5）²
=$\frac{289}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，本題中求證△ADE≌△CDF是解題的關(guān)鍵．