Question

19．（1）已知拋物線y=mx²+（3m-1）x-3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定拋物線的解析式；
（2）若點P（x₁，k）與Q（x₁+n，k）都在（1）中的拋物線上（點P，Q不重合），將拋物線在PQ下方的部分沿PQ翻折，拋物線的其它部分保持不變，得到一個新圖象．當這個新圖象與x軸恰好只有兩個公共點時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）y=0，結合與x軸交于兩個不同的整數(shù)點即可求出m的值；
（2）由題意判斷PQ與x軸平行，結合翻折的性質進行分析即可求解．

解答 解：（1）拋物線y=mx²+（3m-1）x-3，令y=0，
mx²+（3m-1）x-3=0，
${x}^{2}+（3-\frac{1}{m}）x+3×（-\frac{1}{m}）=0$，
解得x₁=-3，x₂=$\frac{1}{m}$，
由m為正整數(shù)，可知m=1，
所以拋物線的解析式為：y=x²+2x-3；
（2）y=x²+2x-3的頂點坐標為：（-1，-4），
由P（x₁，k）與Q（x₁+n，k）可知：直線PQ與x軸平行，
由翻折的性質可以得出：當-4≤k＜-2，或k=0時，新圖象與x軸恰好只有兩個公共點．

點評 此題主要考查拋物線與x軸的交點問題，會運用一元二次方程的根解決拋物線與x軸交點問題，熟悉翻折性質并靈活運用解題是此題的關鍵．