Question

9．如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式為y=x²+2x-3；
（2）以點(diǎn)E為圓心的⊙E與直線AB相切，求⊙E的半徑；
（3）連接BC，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE交線段BC于點(diǎn)D，當(dāng)△CED為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)解析式求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）作EH⊥AB于H，如圖1，先利用勾股定理計(jì)算出AB，再利用切線的性質(zhì)得EH為⊙E的半徑，然后證明Rt△EAH∽R(shí)t△BAO，則可利用相似比計(jì)算出EH；
（3）先通過(guò)確定C點(diǎn)坐標(biāo)可得到OC=OB=3，則可判斷△OBC為等腰直角三角形，所以∠OCB=45°，分類討論：當(dāng)∠CDE=90°，則△CDE為等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如圖2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得DF=EF=CF=$\frac{1}{2}$CE=1，則可確定D（-2，-1），再利用待定系數(shù)法求出直線OD的解析式為y=x+1，然后通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠CED=90°時(shí)，EP∥y軸，此時(shí)P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，3x-3=0，解得x=1，則A（1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3x-3=-3，則B（0，-3），
把A（1，0），B（0，-3）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=x²+2x-3；
故答案為y=x²+2x-3；
（2）作EH⊥AB于H，如圖1，
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，則E（-1，0）
∵A（1，0），B（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵以點(diǎn)E為圓心的⊙E與直線AB相切，
∴EH為⊙E的半徑，
∵∠EAH=∠BAO，
∴Rt△EAH∽R(shí)t△BAO，
∴EH：OB=EA：AB，即EH：3=2：$\sqrt{10}$，解得EH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即⊙E的半徑為$\frac{3\sqrt{10}}{5}$；
（3）當(dāng)y=0時(shí)，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，則C（-3，0），
∵OC=OB=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
當(dāng)∠CDE=90°，則△CDE為等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如圖2，則DF=EF=CF=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴D（-2，-1），
設(shè)直線OD的解析式為y=mx+n，
把E（-1，0），D（-2，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{-2m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線OD的解析式為y=x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）；
當(dāng)∠CED=90°時(shí)，EP∥y軸，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．