Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿A→D→C運(yùn)動，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)1秒后，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，并以1cm/s速度向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）求DC的長；
（2）當(dāng)t取何值時(shí)，PQ∥CD？
（3）是否存在t，使△PQC為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）過D點(diǎn)作DF⊥BC于F，得出四邊形ABFD是矩形，那么DF=AB=8，BF=AD=12，CF=BC-BF=6，然后在直角△CDF中利用勾股定理即可求出DC；
（2）由于AD∥BC，所以當(dāng)PQ∥CD時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出PD=QC，依此列出關(guān)于t的方程，求解即可；
（3）因?yàn)椤螩＜90°，所以△PQC為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①∠PQC=90°；②∠CPQ=90°；分別求解即可．

解答 解：（1）過D點(diǎn)作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB=8，BF=AD=12，
∴CF=BC-BF=18-12=6，
∴DC=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10（cm）；

（2）當(dāng)PQ∥CD時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形，此時(shí)PD=QC，
∴12-2t=t-1，
∴t=4$\frac{1}{3}$．
∴當(dāng)t=4$\frac{1}{3}$時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；

（3）△PQC為直角三角形時(shí)，因?yàn)椤螩＜90°，分兩種情況：
①當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，則AP=BQ，
即2t=18-（t-1），
解得t=6$\frac{1}{3}$，不合題意舍去；
②當(dāng)∠CPQ=90°，此時(shí)P一定在DC上，
∵CP=10+12-2t=22-2t，CQ=t-1，
易知，△CDF∽△CQP，
∴$\frac{CF}{CP}$=$\frac{CD}{CQ}$，即$\frac{6}{22-2t}$=$\frac{10}{t-1}$，
解得：t=8$\frac{9}{13}$，符合題意；
綜上所述，當(dāng)t=8$\frac{9}{13}$秒時(shí)，△PQC是直角三角形．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形、矩形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用分類討論和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．