Question

17．進(jìn)入夏季后某款空調(diào)供不應(yīng)求，廠家加班生產(chǎn)并銷售，在第一個(gè)產(chǎn)銷期的12天中，為提高產(chǎn)量，從第5天開始增加了工時(shí)生產(chǎn)成本，每臺(tái)空調(diào)的成本P（元）與時(shí)間x（天）的關(guān)系如表：

時(shí)間x（天）	每臺(tái)空調(diào)的成本P（元）
0＜x≤5	P=400
5＜x≤12	P=40x+200

已知每天生產(chǎn)的空調(diào)數(shù)量y（臺(tái)）與時(shí)間x（天）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=2x+16，每臺(tái)空調(diào)的出售價(jià)格為1400元．
請(qǐng)解答下列問題：
（1）設(shè)廠家的日銷售利潤為W元，求W（元）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）確定該廠哪一天獲得最大利潤，最大利潤是多少？
（3）設(shè)廠家在第一個(gè)產(chǎn)銷期，獲得最大利潤時(shí)的成本為P₁，日生產(chǎn)量為y₁．
現(xiàn)計(jì)劃從第13天開始，按每臺(tái)成本P1元，每臺(tái)生產(chǎn)y₁臺(tái)進(jìn)行生產(chǎn)并完全售出，但由于機(jī)器損耗等原因，實(shí)際平均每臺(tái)空調(diào)的成本比統(tǒng)計(jì)增加了a%，使得廠家10天的銷售利潤與原計(jì)劃的8天的銷售利潤持平，求a的值．

Answer 1

分析 （1）分0＜x≤5、5＜x≤12，根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合x的范圍，分別根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性求解可得；
（3）先根據(jù)題意求得y₁、P₁，再由“廠家10天的銷售利潤與原計(jì)劃的8天的銷售利潤持平”列方程求解可得．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，W=y（1400-P）=（2x+16）（1400-400）=2000x+16000；
當(dāng)5＜x≤12時(shí)，W=y（1400-P）=（2x+16）[1400-（40x+20）]=-80x²+1760x+19200．

（2）當(dāng)0＜x≤5時(shí)，W=2000x+16000，
∵2000＞0，W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=5時(shí)，W有最大值為26000元；
當(dāng)5＜x≤12時(shí)，W=-80x²+1760x+19200=-80（x-11）²+28880，
∴當(dāng)x=11時(shí)，W有最大值28880元，
綜上，第11天的利潤最大，最大利潤是28880元；

（3）y₁=2×11+16=38件，P₁=40×11+200=640元，
由題意得：[1400-640（1+a%）]×38×10=28880×8，
解得：a=23.75，
∴a的值為23.75．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．