Question

8．如圖，平面直角坐標系中，點M是直線y=2與x軸之間的一個動點，且點M是拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的頂點，則拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c與直線y=1交點的個數(shù)是（　　）

• A． 0個或1個
• B． 0個或2個
• C． 1個或2個
• D． 0個、1個或2個

Answer 1

分析 令y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，y=1，要求方程$\frac{1}{2}$x²+bx+c=1的解的個數(shù)，只需求拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與直線y=1有沒有交點即可．

解答 解：由拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象可知，該拋物線與x軸沒有交點，
            即：△＜0，
            則：b²-4c＜0，
           又點M是直線y=2與x軸之間的一個動點，點M的坐標為：（-b，$\frac{2c-^{2}}{2}$），
           所以，0＜$\frac{2c-^{2}}{2}$＜2，即：-4＜b²-2c＜0，
∴：-2＜b²-2c+2＜2，
         聯(lián)立拋物線解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²+bx+c和直線y=1，
則要求方程$\frac{1}{2}$x²+bx+c=1的解得個數(shù)，
          又因為，△=b²-4×$\frac{1}{2}$（c-1）=b²-2（c-1）=b²-2c+2，
          所以，-2＜b²-2c+2＜2，
          即：①當-2＜b²-2c+2＜0時，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與直線y=1沒有交點；
                 ②b²-2c+2=0時，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與直線y=1有一個交點；
              ③0＜b²-2c+2＜2時，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與直線y=1有兩個交點．
        故選：D．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．