Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線DE，交BC于E．
（1）求證：EB=EC；
（2）若以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OD、CD，結(jié)合AC為直徑可得到∠CDB=90°，由ED=CE，再利用角的和差可求得∠ODE=90°，然后根據(jù)同角的余角相等證得∠EDB=∠B，由等腰三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）證明∠B=45°，∠A=45°，進(jìn)而證明AC=BC即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接OD、CD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠OCD+∠ECD=∠ODC+∠EDC=90°，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+DCE=90°，
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠DCE=∠CDE，
同理∠EDB=∠B，
∴DE=BE；

（2）解：△ABC是等腰直角三角形，
當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，則∠DEB=90°，
又∵DE=BE，
∴△DEB是等腰直角三角形，
則∠B=45°，∠A=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查切線的判定及等腰直角三角形的判定，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．