Question

2．如圖1，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．
（1）若∠A：∠ABC=3：4，∠ACD=140°，求∠A的度數(shù)；
（2）若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P．求證：∠MCP=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）在（2）的條件下，將△MBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△NBC，∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q（如圖2），試探究∠BQC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想并證明．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠A：∠ABC=3：4，設(shè)∠A=3k，∠ABC=4k，再由三角形外角的性質(zhì)求出k的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠M=∠MCD-∠MBC，∠A=∠ACD-∠ABC．再由MC、MB分別平分∠ACD、∠ABC得出∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，故∠M=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．根據(jù)CP⊥BM即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBN，∠QCB=$\frac{1}{2}$∠BCN，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，∠Q=180°-$\frac{1}{2}$（∠CBN+∠BCN）=$\frac{1}{2}$（180°-∠N）=90°+$\frac{1}{2}$∠N．由（2）知：∠M=$\frac{1}{2}$∠A．根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)知：∠M=∠N，由此可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵∠A：∠ABC=3：4，
∴可設(shè)∠A=3k，∠ABC=4k，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴3k+4k=140°，
解得k=20°．
∴∠A=3k=60°．

（2）證明：∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M=∠MCD-∠MBC．
同理可得，∠A=∠ACD-∠ABC．
∵M(jìn)C、MB分別平分∠ACD、∠ABC，
∴∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠M=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．
∵CP⊥BM，
∴∠PCM=90°-∠M=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

（3）猜想∠BQC=90°+$\frac{1}{4}$∠A．
證明如下：
∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，
∴∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBN，∠QCB=$\frac{1}{2}$∠BCN，
∴∠Q=180°-$\frac{1}{2}$（∠CBN+∠BCN）=$\frac{1}{2}$（180°-∠N）=90°+$\frac{1}{2}$∠N．
由（2）知：∠M=$\frac{1}{2}$∠A．
又由軸對(duì)稱性質(zhì)知：∠M=∠N，
∴∠BQC=90°+$\frac{1}{4}$∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，在解答此題時(shí)要注意軸對(duì)稱的性質(zhì)及翻折變換、三角形外角的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)的靈活運(yùn)用，難度適中．