Question

已知：等邊的邊長(zhǎng)為．

探究（1）：如圖１，過(guò)等邊的頂點(diǎn)依次作的垂線圍成求證：是等邊三角形且；

探究（2）：在等邊內(nèi)取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作垂足分別為點(diǎn)

①如圖2，若點(diǎn)是的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個(gè)正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1．；結(jié)論2．；

②如圖3，若點(diǎn)是等邊內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

證明：如圖1，為等邊三角形

∴

同理：

為等邊三角形．

在中，

在中，

（2）：結(jié)論1成立.

證明；方法一：如圖2，連接

由=

作垂足為，

則

方法二：如圖3，過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

作于點(diǎn)，

是等邊三角形

四邊形是矩形

在中，

在中，

在中，

                               

（2）結(jié)論2成立．

證明：方法一：如圖４，過(guò)頂點(diǎn)依次作邊的垂線圍成由（1）得為等邊三角形且分

過(guò)點(diǎn)分別作于,于于點(diǎn)于點(diǎn)

由結(jié)論1得：

又

四邊形為矩形

同理：，

方法二：（同結(jié)論1方法二的輔助線）

在中，

在中，

同理：

=

=

由結(jié)論1得：

方法三：如圖5，連接，根據(jù)勾股定理得：

：

整理得：