Question

1．如圖，已知AB為⊙O直徑，過⊙O上一點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB延長線于點(diǎn)E，作AD⊥CE，交EC延長線于D，交⊙O于點(diǎn)F，設(shè)∠ABC=α（0°＜α＜90°）．
（1）求∠DAC（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，AD=8，求AB的長；
（3）若α=60°，AB=10，求$\widehat{CF}$的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，求出AD∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DAC=∠CAB，即可求出答案；
（2）解直角三角形求出AC，解直角三角形求出AB即可；
（3）連接OF，求出∠FOC，根據(jù)弧長公式求出即可．

解答 解：（1）連接OC，

∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-α，
∵DE切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO=90°-α；

（2）∵在Rt△ADC中，cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，AD=8，
∴AC=$\frac{AD}{cos∠CAD}$=10，
∵由（1）得：∠DAC=∠CAB，
∴cos∠CAB=$\frac{4}{5}$，
∴AB=$\frac{AC}{cos∠CAB}$=$\frac{25}{2}$；

（3）連接OF，

∵∠DAC=90°-α=90°-60°=30°，∠DAC與∠FOC對(duì)同弧，
∴∠FOC=2∠DAC=60°，
∴$\widehat{CF}$的長=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．