Question

16．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點(diǎn)，∠ABD=2∠BAC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直線AB與CE相交于點(diǎn)F．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）填空：當(dāng)∠CAB的度數(shù)為30°時(shí)，四邊形ACFD是菱形．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由于∠A=∠OCA，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得CF為⊙O的切線；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠F=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC=CF，連接AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAF=∠F=30°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=AC，由菱形的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF為⊙O的切線；

（2）當(dāng)∠CAB的度數(shù)為30°時(shí)，四邊形ACFD是菱形，
理由：∵∠A=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠F=30°，
∴∠A=∠F，
∴AC=CF，
連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CF，
∴∠DAF=∠F=30°，
在△ACB與△ADB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAB=∠DAB=30°}\\{∠ACB=∠D=90°}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ADB，
∴AD=AC，
∴AD=CF，
∵AD∥CF，
∴四邊形ACFD是菱形．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．