Question

5．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→B→A直線運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)$\frac{1}{2}$秒后，求△ABP的周長．
（2）問t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，由題意得出PC=1cm，則BP=BC-PC=2cm，由勾股定理求出AP，即可得出△ABP的周長；
（2）分三種情況：①當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，則P為AB的中點(diǎn)，得出2t=3+2.5，解方程即可；
②當(dāng)BP=BC=3cm時(shí)，2t=3+3，解方程即可；
③當(dāng)CP=CB時(shí)，作CD⊥AB于D，由三角形的面積關(guān)系求出CD，由勾股定理求出BD，得出BP，由題意得出2t=3+$\frac{18}{5}$，解方程即可；
（3）分兩種情況，由題意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$s時(shí)，PC=1cm，
∴BP=BC-PC=2cm，AP=$\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{1}}$=$\sqrt{17}$（cm），
∴△ABP的周長=AB+PA+BP=5+$\sqrt{17}$+2=7+$\sqrt{17}$（cm）；
（2）分三種情況：
①當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，
則P為AB的中點(diǎn)，如圖1所示：
∴BP=2.5，
∴2t=3+2.5，
解得：t=$\frac{11}{4}$；
②當(dāng)BP=BC=3cm時(shí)，如圖2所示：
2t=3+3，
解得：t=3；
③當(dāng)CP=CB時(shí)，作CD⊥AB于D，
如圖3所示：
則CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$（cm），
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{9}{5}$cm，
∴BP=2BD=$\frac{18}{5}$cm，
∵2t=3+$\frac{18}{5}$，
∴t=$\frac{33}{10}$；
綜上所述：t=$\frac{11}{4}$s，或t=3s，或t=$\frac{33}{10}$s時(shí)，△BCP為等腰三角形；
（3）由題意得：
P、Q相遇前：t+2t=$\frac{3+4+5}{2}$，
解得：t=2，
P、Q相遇后：t+2t-（3+4+5）=$\frac{3+4+5}{2}$，
解得：t=6，
，即t=2s或6s時(shí)，線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面積的計(jì)算方法等知識(shí)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．