Question

16．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號．已知A、B兩船相距$50（\sqrt{3}+1）$海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．
（1）求出A與C之間的距離AC．
（2）已知距觀測點D處50海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB，設(shè)AE=x海里，則BE=CE=$\sqrt{3}$x海里．根據(jù)AB=AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=50（$\sqrt{3}$+1），求得x的值后即可求得AC的長；
（2）作DF⊥AC于點F，根據(jù)AD的長和∠DAF的度數(shù)求線段DF的長后與50比較即可得到答案．

解答 解：（1）如圖，作CE⊥AB，
由題意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，
設(shè)AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x；
在Rt△BCE中，BE=CE=$\sqrt{3}$x．
∴AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=50（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=50．
AC=2x=100．
答：出A與C之間的距離是100海里；

（2）過點D作DF⊥AC于點F，
則DF=CF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$×50（$\sqrt{3}$-1）≈63.2海里，
∵63.2＞50，
所以巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系解答．