Question

18．如圖，點A、B是雙曲線y=$\frac{k+1}{x}$（k為正整數(shù)）與直線AB的交點，且A、B兩點的橫坐標(biāo)是關(guān)于x的方程：x²+kx-k-1=0的兩根
（1）填表：

K	1	2	3	…	n（n為正整數(shù)）
A點的橫坐標(biāo)	1	1	1	…	1
B點的橫坐標(biāo)	-2	-3	-4	…	-n-1

（2）當(dāng)k=n（n為正整數(shù)）時，試求直線AB的解析式（用含n的式子表示）；
（3）當(dāng)k=1、2、3、…n時，△ABO的面積，依次記為S₁、S₂、S₃…S_n，當(dāng)S_n=40時，求雙曲線y=$\frac{k+1}{x}$的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)k的值，即可得到一元二次方程的解，進(jìn)而得到A點的橫坐標(biāo)，B點的橫坐標(biāo)；
（2）根據(jù)當(dāng)k=n（n為正整數(shù)）時，A點的橫坐標(biāo)為1，B點的橫坐標(biāo)為-n-1，可得A（1，n+1），B（-n-1，-1），運用待定系數(shù)法即可得出直線AB的解析式；
（3）先求得直線AB與y軸交于（0，n），再根據(jù)當(dāng)S_n=40時，$\frac{1}{2}$×n（n+1+1）=40，即可得到n=8，進(jìn)而得出A（1，9），據(jù)此可得雙曲線的解析式為：y=$\frac{9}{x}$．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時，方程x²+x-2=0的解為：x₁=1，x₂=-2；
當(dāng)k=2時，方程x²+2x-3=0的解為：x₁=1，x₂=-3；
k=3時，方程x²+3x-4=0的解為：x₁=1，x₂=-4；
k=n時，方程x²+nx-n-1=0的解為：x₁=1，x₂=-n-1；
∵點A在第一象限，點B在第三象限，
∴A點的橫坐標(biāo)依次為：1，1，1，…，1；
B點的橫坐標(biāo)依次為：-2，-3，-4，…，-n-1；
故答案為：1，1，1，…，1；-2，-3，-4，…，-n-1；

（2）當(dāng)k=n（n為正整數(shù)）時，A點的橫坐標(biāo)為1，B點的橫坐標(biāo)為-n-1，
令x=1，則y=$\frac{n+1}{1}$=n+1；
令x=-n-1，則y=$\frac{n+1}{-n-1}$=-1；
∴A（1，n+1），B（-n-1，-1），
設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，則
$\left\{\begin{array}{l}{n+1=p+q}\\{-1=（-n-1）p+q}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=n}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+n；

（3）∵直線y=x+n中，令x=0，則y=n，即直線AB與y軸交于（0，n），
∴當(dāng)S_n=40時，$\frac{1}{2}$×n（n+1+1）=40，
解得n=8（負(fù)值已舍去），
∴A（1，9），
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{9}{x}$．

點評 本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題以及一元二次方程的解，解題時注意：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．