Question

9．如圖，銳角△ABC中AB=c，AC=b，BC=a且有b²-c²=ac-ab．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）作△ABC兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，如果連接OA，試猜想直線OA與直線BC的位置關(guān)系并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由b²-c²=ac-ab，得到（b+c）（b-c）=-a（b-c），由于AB=c，AC=b，BC=a，于是得到當(dāng)b-c=0時(shí)，等式才成立，即可得到結(jié)論；
（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，由垂直的定義得到∠BDC=∠CEB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠OBC=∠OCB，根據(jù)等腰三角形的判定得到OB=OC，推出△ABO≌△ACO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵b²-c²=ac-ab，
∴（b+c）（b-c）=-a（b-c），
∵AB=c，AC=b，BC=a，
∴當(dāng)b-c=0時(shí)，等式才成立，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）連接AO并延長(zhǎng)交BC于M，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
在△ABO與△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AO=AO}\\{BO=CO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴AM⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．