Question

18．如圖1，在?ABCD中，cosB=$\frac{1}{3}$，AB=2BC，動點E從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB→BC運動，同時動點F從點A出發(fā)以相同的速度沿線段AD→DC運動，兩點到達(dá)點C停止運動，設(shè)運動時間為xs，△AEF的面積為y（cm²），圖2是y關(guān)于x的部分函數(shù)圖象．
（1）請直接寫出AB=6cm，BC=3cm；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知點E的運動路程AB+BC=9×1=9，結(jié)合AB=2BC可得答案；
（2）M為AB中點，分①當(dāng)點E在AM上運動、點F在AD上運動時，即0≤x＜3；②當(dāng)點E在MB上運動、點F在DC上運動時，即3≤x＜6；③當(dāng)點E在BC上運動、點F在DC上運動時，即6≤x≤9三種情況，分別根據(jù)三角形的面積公式和割補法列式可得．

解答 解：（1）由題意知點E的運動路程AB+BC=9×1=9，
∵AB=2BC，
∴AB=6cm，BC=3cm，
故答案為：6，3；

（2）①如圖1，M為AB中點，當(dāng)點E在AM上運動、點F在AD上運動時，即0≤x＜3，

過點F作FP⊥AB，交AB延長線于點P，
由題意知AE=AF=x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴cosB=cos∠PAF=$\frac{1}{3}$，
則AP=AFcos∠PAF=$\frac{1}{3}$x，
則PF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
則y=$\frac{1}{2}$•AE•PF=$\frac{1}{2}$x•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x²；
②如圖2，當(dāng)點E在MB上運動、點F在DC上運動時，即3≤x＜6，

由題意知AE=xcm，
過點F作FP⊥AB于點P，作CQ⊥AB于點Q，
∵BQ=BCcosB=3×$\frac{1}{3}$=1，
∴FP=CQ=$2\sqrt{2}$，
則y=$\frac{1}{2}$•x•2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$x；
③如圖③，當(dāng)點E在BC上運動、點F在DC上運動時，即6≤x≤9，

由題意知，AE+BE=AD+DF=x，則BE=x-6，CE=CF=9-x，
作EP⊥AB于點P，延長PE交DF于點Q，
∵AB∥CD，
∴PQ⊥CD，∠B=∠ECQ，
∴BP=BEcosB=$\frac{1}{3}$（x-6），CQ=CEcos∠ECQ=$\frac{1}{3}$（9-x），
則PE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-6），EQ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（9-x），
∴y=$\frac{1}{2}$（9-x+6）×[$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-6）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（9-x）]-$\frac{1}{2}$×6×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-6）-$\frac{1}{2}$×（9-x）×$\frac{1}{3}$（9-x）
=-$\frac{1}{2}$x²+（9+$\sqrt{2}$）x+3$\sqrt{2}$-$\frac{27}{2}$．

點評 本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意弄清點E、點F運動的拐點及三角形面積的求法是解題的關(guān)鍵．