Question

20．某課題研究小組就圖形面積問(wèn)題進(jìn)行專題研究，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：
（1）有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于這條邊上的對(duì)應(yīng)高之比；
（2）有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；…
現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)下面問(wèn)題的探究，探究過(guò)程可直接應(yīng)用上述結(jié)論．（S表示面積）
問(wèn)題1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P₁，P₂三等分邊AB，R₁，R₂三等分邊AC．經(jīng)探究知
S${\;}_{四邊形P{{\;}_{1}R}_{1}R{{\;}_{2}P}_{2}}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC，請(qǐng)證明．
問(wèn)題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問(wèn)題1中的△ABC拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q₁，Q₂三等分邊DC．試探究S${\;}_{四邊形{P}_{1}{Q}_{1}{Q}_{2}{P}_{2}}$與S_{四邊形ABCD}之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 問(wèn)題1，圖1中，連接P₁R₂，R₂B，由三角形中線的性質(zhì)得S_△AP1R1=S_△P1R1R2，S_△P1R2P2=S_△P2R2B，再由R₁，R₂為AC的三等分點(diǎn)，得S_△BCR2=$\frac{1}{2}$S_△ABR2，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S_△ABC與S_{四邊形P1R1R2P2}的數(shù)量關(guān)系，證明結(jié)論；
問(wèn)題2，圖2中，連接AQ₁，Q₁P₂，P₂C，由三角形的中線性質(zhì)，得S_△AQ1P1=S_△P1Q1P2，S_△P2Q1Q2=S_△P2Q2C，由Q₁，P₂為CD，AB的三等分點(diǎn)可知：S_△ADQ1=$\frac{1}{2}$S_△AQ1C，S_△BCP2=$\frac{1}{2}$S_△AP2C，得出S_△ADQ1+S_△BCP2與S_{四邊形AQ1CP2}的關(guān)系，再根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S_{四邊形ABCD}與S_{四邊形P1Q1Q2P2}的等量關(guān)系．

解答 證明：?jiǎn)栴}1，如圖1，連接P₁R₂，R₂B，在△AP₁R₂中，
∵P₁R₁為中線，
∴S_△AP1R1=S_△P1R1R2，
同理S_△P1R2P2=S_△P2R2B，
∴S_△P1R1R2+S_△P1R2P2=$\frac{1}{2}$S_△ABR2=S_{四邊形P1P2R2R1}，
由R₁，R₂為AC的三等分點(diǎn)可知，
S_△BCR2=$\frac{1}{2}$S_△ABR2，
∴S_△ABC=S_△BCR2+S_△ABR2=S_{四邊形P1P2R2R1}+2S_{四邊形P1P2R2R1}=3S_{四邊形P1P2R2R1}，
∴S_{四邊形P1R1R2P2}=$\frac{1}{3}$S_△ABC；

解：?jiǎn)栴}2，S_{四邊形ABCD}=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}．
理由：如圖2，連接AQ₁，Q₁P₂，P₂C，在△AQ₁P₂中，
∵Q₁P₁為中線，
∴S_△AQ1P1=S_△P1Q1P2，
同理S_△P2Q1Q2=S_△P2Q2C，
∴S_△P1Q1P2+S_△P2Q1Q2=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AQ1CP2}=S_{四邊形P1Q1Q2P2}，
由Q₁，P₂為CD，AB的三等分點(diǎn)可知，
S_△ADQ1=$\frac{1}{2}$S_△AQ1C，S_△BCP2=$\frac{1}{2}$S_△AP2C，
∴S_△ADQ1+S_△BCP2=$\frac{1}{2}$（S_△AQ1C+S_△AP2C）=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AQ1CP2}，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ADC+S_△ABC=S_{四邊形AQ1CP2}+S_△ADQ1+S_△BCP2=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}，
即S_{四邊形ABCD}=3S_{四邊形P1Q1Q2P2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面積與等積變換問(wèn)題，關(guān)鍵是利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理．