Question

9．如圖，已知動點A在函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC，直線DE分別交x軸、y軸于點P、Q，當QE：DP=1：4時，圖中的陰影部分的面積等于5．

Answer 1

分析 作DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到$\frac{EG}{PF}=\frac{QE}{DP}=\frac{1}{4}$，設(shè)EG=t，則PF=4t，然后根據(jù)△ADE∽△FPD，據(jù)此即可得到關(guān)于t的方程，求得t的值，進而求解．

解答 解：如圖，作DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于G，

∴△QEG∽△DPF，
∴$\frac{EG}{PF}=\frac{QE}{DP}=\frac{1}{4}$，
設(shè)EG=t，則PF=4t，
∴A（t，$\frac{4}{t}$），
∵AC=AE，AD=AB，
∴AE=t，AD=$\frac{4}{t}$，DF=$\frac{4}{t}$，PF=4t，
∵△ADE∽△FPD，
∴AE：DF=AD：PF，即t：$\frac{4}{t}$=$\frac{4}{t}$：4t，即t²=2，
圖中陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×t×t+$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{t}$×$\frac{4}{t}$=5．
故答案為：5．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及到從反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|，也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．