Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4$\sqrt{3}$．若動點D在線段AC上（不與點A、C重合），過點D作DE⊥AC交AB邊于點E．點A關(guān)于點D的對稱點為點F，以FC為半徑作⊙C，當(dāng)DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，⊙C與直線AB相切．

Answer 1

分析 求出AB上的高，CH，即可得出圓的半徑，證△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

解答 解：過C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=4$\sqrt{3}$，AC=6，
∴由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CH，
CH=3，
分為兩種情況：①如圖1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F關(guān)于D對稱，
∴DF=AD=$\frac{3}{2}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DE}{2\sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{2}}{6}$，
DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②如圖2，∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F關(guān)于D對稱，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DE}{2\sqrt{3}}=\frac{4.5}{6}$，
DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 本題考查了三角形的中位線，含30度角的直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理和計算的能力．