Question

7．如圖，等腰三角形ABC的底邊長為8cm，腰長為5cm，一動點P在底邊上從點B向點C以1cm/s的速度移動，
（1）求△ABC的面積；
（2）請你探究：當點P運動幾秒時，點P與頂點A的連線PA與腰垂直？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得到BD的長，由勾股定理可求得AD的長，根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）分兩種情況進行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，從而可得到運動的時間．

解答 解：（1）作AD⊥BC
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AD=$\sqrt{A{B^2}-B{D^2}}=\sqrt{{5^2}-{4^2}_{\;}}=3$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•AD=12（c{m^2}）$；

（2）分兩種情況：

當點P運動t秒后有PA⊥AC時，
∵AP²=PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+AD²=PC²-AC²，
∴PD²+3²=（PD+4²-5²，
∴PD=2.25，
∴BP=4-2.25=1.75=1t，
∴t=1.75，
當點P運動t秒后有PA⊥AB時，同理可證得PD=2.25，
∴BP=4+2.25=6.25，
∴t=6.25．
綜上所述，當P運動1.75s或6.25s秒時，P點與頂點A的連線PA與腰垂直．

點評 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的運用，此題難度適中，解題的關鍵是分類討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．