Question

8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸的一個交點為A（-1，0），另一個交點為B，與y軸的交點為C，其頂點為D，對稱軸為直線x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ACM是以AC為一腰的等腰三角形時，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用對稱性可得B（3，0），則利用交點式得拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，所以-3a=3，解得a=1，于是得到拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）分類討論：當AC=AM時，易得點M₁（0，3），如圖；②當CM=CA時，先計算出AC=$\sqrt{10}$，再以C點為圓心，CA為半徑畫弧交y軸于M₂，M₃，如圖，易得M₂（0，$\sqrt{10}$-3），M₃（0，-$\sqrt{10}$-3）．

解答 解：（1）∵點A（-1，0）和點B關于直線x=1對稱，
∴B（3，0），
∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，
∴-3a=3，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）當AC=AM時，點M₁與點C關于x軸對稱，則M₁（0，3），如圖；
②當CM=CA時，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
以C點為圓心，CA為半徑畫弧交y軸于M₂，M₃，如圖，則OM₂=$\sqrt{10}$-1，OM₃=OC+CM₃=3+$\sqrt{10}$，則M₂（0，$\sqrt{10}$-3），M₃（0，-$\sqrt{10}$-3）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（0，3），（0，$\sqrt{10}$-3），（0，-$\sqrt{10}$-3）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．解決（2）小題的關鍵是利用等腰三角形的性質畫出點M的坐標．