Question

4．已知正三角形A₁B₁C₁的邊長(zhǎng)為a分別以這個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)三角形，記為△A₂B₂C₂，再以△A₂B₂C₂各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)做三角形記為△A₃B₃C₃，…依次做下去，則△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)為$\frac{3a}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形中位線定理知，△A₂B₂C₂的各邊的邊長(zhǎng)是△A₁B₁C₁的各邊邊長(zhǎng)的$\frac{1}{2}$，△A₃B₃C₃是，△A₂B₂C₂的各邊的邊長(zhǎng)的$\frac{1}{2}$，…，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：等邊△A₁B₁C₁的邊長(zhǎng)為a，
∴等邊△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)為3a．
∵A₂、B₂分別是邊A₁B₁、B₁C₁的中點(diǎn)，
∴A₂B₂是△A₁B₁C₁的中位線，
∴A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁．
同理，A₂C₂=$\frac{1}{2}$A₁C₁，C₂B₂=$\frac{1}{2}$C₁B₁．
∴△A₂B₂C₂的周長(zhǎng)=$\frac{1}{2}$等邊△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)=$\frac{3a}{2}$．
同理，△A₃B₃C₃的周長(zhǎng)=$\frac{1}{2}$△A₂B₂C₂的周長(zhǎng)=$\frac{3a}{{2}^{2}}$等邊△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)．
…，
∴△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)=$\frac{3a}{{2}^{n-1}}$．
故答案為：$\frac{3a}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理．三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．