Question

9．一個(gè)四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和為y，如果x=y，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和平數(shù)”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因?yàn)閤=y，所以1423是“和平數(shù)”．
（1）直接寫出：最小的“和平數(shù)”是1001，最大的“和平數(shù)”是9999；
（2）求個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)的所有“和平數(shù)”；
（3）將一個(gè)“和平數(shù)”的個(gè)位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時(shí)，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后的這兩個(gè)“和平數(shù)”為一組“相關(guān)和平數(shù)”．
例如：1423與4132為一組“相關(guān)和平數(shù)”
求證：任意的一組“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為$\overline{abcd}$，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、當(dāng)a=2，d=4時(shí)，2（c+1）=12k，得到c=5則b=7，②、當(dāng)a=4，d=8時(shí)，得到c=4則b=8，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為$\overline{abcd}$，$\overline{badc}$（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到$\overline{abcd}$+$\overline{badc}$=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得，最小的“和平數(shù)”1001，最大的“和平數(shù)”9999，
故答案為：1001，9999；

（2）設(shè)這個(gè)“和平數(shù)”為$\overline{abcd}$，
則d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①、當(dāng)a=2，d=4時(shí)，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5則b=7，
②、當(dāng)a=4，d=8時(shí)，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4則b=8，
綜上所述，這個(gè)數(shù)為2754和4848．

（3）設(shè)任意的兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”為$\overline{abcd}$，$\overline{badc}$（a，b，c，d分別取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
則$\overline{abcd}$+$\overline{badc}$=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），
即兩個(gè)“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用，正確的理解新概念和平數(shù)”是解題的關(guān)鍵．