Question

【題目】拋物線（為常數(shù)，）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為，其對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）為線段（含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，且．

①求的取值范圍；

②當(dāng)取最大值時(shí)，將線段向上平移個(gè)單位長度，使得線段與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將A和B的坐標(biāo)代入求解即可；

（2）①拋物線的對(duì)稱軸為：x=2，頂點(diǎn)M（2，4），在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2，把三角形三邊長用點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)表達(dá)出來，整理得：，利用0≤m≤4，求出n的取值范圍；

②設(shè)線段CQ向上平移t個(gè)單位長度后的解析式為：聯(lián)立拋物線方程，可求出x2-7x+4t=0，由△=49-16t=0，得，可得當(dāng)線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，.

解：（1）∵ 點(diǎn)，在拋物線上，

∴

解得，．

∴ 該拋物線的解析式為；

（2）① 由，得（2，4），

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（2，m），其中，

則，，，

∵，

∴在△PCQ中，，

即，

整理得，0≤m≤4，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為；

當(dāng)時(shí)，取得最大值為，

∴的取值范圍是；

②由①知，當(dāng)取最大值4時(shí)，．此時(shí)，

∵點(diǎn)，

∴線段的解析式為，

設(shè)向上平移個(gè)單位長度后的解析式為．

如圖，當(dāng)線段向上平移，使點(diǎn)恰好在拋物線上時(shí)，線段與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

將代入，得．

當(dāng)線段繼續(xù)向上平移，線段與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

由，

得．化簡，得．

由，解得．

∴的取值范圍是．