Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．則四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：由三角形中位線的性質(zhì)，可判定EH∥FG，GH∥EF，繼而可證得四邊形EFGH是平行四邊形．四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

解答：答：四邊形EFGH是正方形．
證明：在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形．
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，AC與EH交于點(diǎn)M
在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，同理GH∥AC，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵EH∥BD，
∴∠EMC=∠BOC=90°，
∵HG∥AC，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)．學(xué)生靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及菱形的判斷進(jìn)行證明，是一道綜合題．