Question

如圖，已知二次函數(shù)y=a（x-h）²+

3

的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）．
（1）寫(xiě)出該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；
（2）若將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，試判斷點(diǎn)A′是否為該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

專題：

分析：（1）由于拋物線過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（2，0），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1；
（2）作A′B⊥x軸與B，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=

1

2

OA′=1，A′B=

3

OB=

3

，則A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

），根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可判斷點(diǎn)A′為拋物線y=-

3

（x-1）²+

3

的頂點(diǎn)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=a（x-h）²+

3

的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），A（2，0）．
解得：h=1，a=-

3

，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1；

（2）點(diǎn)A′是該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．理由如下：
如圖，作A′B⊥x軸于點(diǎn)B，
∵線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB=

1

2

OA′=1，
∴A′B=

3

OB=

3

，
∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

3

），
∴點(diǎn)A′為拋物線y=-

3

（x-1）²+

3

的頂點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減小；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．