Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）填空：當(dāng)AB：AD=

 

時，四邊形MENF是正方形．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,正方形的判定

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）求出四邊形MENF是平行四邊形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根據(jù)正方形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M(jìn)為AD的中點，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中

AM=DM ∠A=∠D AB=DC

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∵M(jìn)E=MF，∠BMC=90°，
∴四邊形MENF是正方形，
即當(dāng)AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，
故答案為：1：2．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，正方形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．