Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°．將一個60°的∠PCQ的頂點放在點C處，并繞點C旋轉(zhuǎn)，當CP與AB交于點M，CQ同時與AD交于點N時．
（1）判斷△CMN的形狀，并說明理由；
（2）試探究△AMN的周長是否存在最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AMN的周長的最小值．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)首先得出△ABC是等邊三角形，進而得出△ANC≌△BMC，即可得出△CMN是等邊三角形；
（2）利用當CM⊥AB時CM最短，由△CMN是等邊三角形，MN也是最短的，C是邊長為2等邊△ABC的高，即可得出△AMN周長的最小值．

解答：解：（1）△CMN是等邊三角形，
理由：連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAD，AD∥BC，AB=BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
在△ANC和△BMC中，

AN=BM ∠B=∠2 AC=BC

，
∴△ANC≌△BMC（SAS），
∴NC=MC，∠4=∠3，
∵AD∥CB，
∴∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠3+∠5=60°，
∴△CMN是等邊三角形；

（2）△AMN的周長有最小值，
理由：當CM⊥AB時CM最短，由△CMN是等邊三角形，
∴MN也是最短的．
CM是邊長為2等邊△ABC的高，
∴CM=

3

，MN=

3

，
所以AM+AN+MN=2+

3

．
∴△AMN周長的最小值為：2+

3

．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)等知識，根據(jù)題意得出MN最小時則△AMN的周長最小得出是解題關(guān)鍵．