Question

6．閱讀理解：（1）如圖（1），等邊△ABC內(nèi)有一點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB=150°．
分析：由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中從而求出∠APB的度數(shù)．
（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

分析 （1）此類題要充分運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的性質(zhì)得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，得出∠PAP′=60°，再利用等邊三角形的判定得出△APP′為等邊三角形，即可得出∠APP′的度數(shù)，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，F(xiàn)C放到一個三角形中，從而根據(jù)勾股定理即可證明．

解答 解：（1）將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，
因為B P P′不一定在一條直線上
連接PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；

（2）把△ACF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接EG．
則△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF=EG，
又∵∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．則三角形是直角三角形．

點評 本題考查了三角形綜合題，需要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．