Question

4．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等邊三角形，E是AC的中點(diǎn)，連接BE并延長，交DC于點(diǎn)F，求證：
（1）△ABE≌△CFE；
（2）四邊形ABFD是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DCA=60°等量代換得到∠DCA=∠BAC，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到△ABE是等邊三角形，推出△CEF是等邊三角形，證得∠CFE=∠CDA，求得BF∥AD，即可得到結(jié)論；

解答 證明：（1）∵△ACD是等邊三角形，
∴∠DCA=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠BAC，
在△ABE與△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCA=∠BAC}\\{AE=CE}\\{∠BEA=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFE；

（2）∵E是AC的中點(diǎn)，
∴BE=EA，
∵∠BAE=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠CFE=60°，
∵△ACD是等邊三角形，
∴∠CDA=∠DCA=60°，
∴∠CFE=∠CDA，
∴BF∥AD，
∵∠DCA=∠BAC=60°，
∴AB∥DC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．