Question

13．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)AD的解析式為y=2x+3，點(diǎn)P是直線(xiàn)AD上一動(dòng)點(diǎn)，以P，B，C為頂點(diǎn)作平行四邊形PBEC，當(dāng)對(duì)角線(xiàn)PE的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 首先連接PE交BC于點(diǎn)M，判斷出當(dāng)MP⊥AD時(shí)，MP的值最��；然后應(yīng)用點(diǎn)斜式，求出直線(xiàn)PE的解析式；最后求出直線(xiàn)AD、直線(xiàn)PE的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：如圖，連接PE交BC于點(diǎn)M，
∵四邊形PBEC是平行四邊形，
∴PM=ME=$\frac{1}{2}$PE，
∴當(dāng)MP⊥AD時(shí)，MP的值最小，
即PE⊥AD時(shí)，對(duì)角線(xiàn)PE的值最小，
∵直線(xiàn)AD的解析式為y=2x+3，且PE⊥AD，
∴直線(xiàn)PE的斜率為-$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)直線(xiàn)PE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+c，
∵四邊形OABC是矩形，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，1.5），
∴-$\frac{1}{2}$×4+c=1.5，
解得c=3.5，
∴直線(xiàn)PE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3.5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x+3.5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$
∴當(dāng)對(duì)角線(xiàn)PE的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{1}{5}$，$\frac{17}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了直線(xiàn)解析式的求法，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)和應(yīng)用，求得直線(xiàn)PE的解析式是解題的關(guān)鍵．