Question

如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點E，且交⊙O于點D，F是BA延長線上一點，若∠CDB=∠BFD．
（1）求證：FD是⊙O的一條切線；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的長．

Answer 1

考點：切線的判定,垂徑定理,相似三角形的判定與性質

專題：幾何圖形問題

分析：（1）利用圓周角定理以及平行線的判定得出∠FDO=90°，進而得出答案；
（2）利用垂徑定理得出AE的長，再利用相似三角形的判定與性質得出FD的長．

解答：（1）證明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC（同位角相等，兩直線平行），
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一條切線；

（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴

AE

FD

=

EO

DO

，
∴

3

5

=

4

FD

，
解得：FD=

20

3

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及切線的判定等知識，得出△AEO∽△FDO是解題關鍵．