Question

19．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象上到原點(diǎn)O距離最小的點(diǎn)為A，四邊形OADC是平行四邊形，且點(diǎn)D也在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）圖象上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3），則k的值為（　�。�

• A． -2
• B． -$\frac{9}{4}$
• C． -$\frac{8}{3}$
• D． -3

Answer 1

分析 首先設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（x，y），可得xy=k，由反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象上到原點(diǎn)O的距離最小的點(diǎn)為A，可得y=-x，又由將線段OA平移到線段CD，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)C（1，3）且點(diǎn)D也在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象上，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（x+1，y+3），繼而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求得答案．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（x，y），
∴xy=k，
∵點(diǎn)A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵OA²=x²+y²≥2|xy|，
∴當(dāng)|x|=|y|時，OA²最小，
即當(dāng)y=-x時，OA最小，
∵將線段OA平移到線段CD，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)C（1，3）且點(diǎn)D也在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（x+1，y+3），
∴（x+1）（y+3）=k，
∴xy+3x+y+3=k，
即3x+y=-3，
∴3x-x=-3，
解得：x=-$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴k=xy=-$\frac{9}{4}$．
故選B．

點(diǎn)評 此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式以及幾何不等式的應(yīng)用．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．