Question

15．已知，兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DEF如圖1擺放，使B，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合．連接AD，直線AB與直線DE交于點(diǎn)H，△ABC和△DEF中，斜邊長(zhǎng)都為2，∠ACB=∠EFD=90°，較小銳角都為30°．
（1）則AB⊥DE（填“⊥”或“∥”）；
（2）如圖2，將圖1中的△ABC向右平移，當(dāng)AH=DH時(shí)，求∠CAD的度數(shù)；
（3）將圖1中的△ABC沿AC翻折得△AB₁C（如圖3）．此時(shí)，AH=DH（填“＜”或“=”或“＞”），

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠EDF，再用直角三角形的兩銳角互余，借助對(duì)頂角即可得出∠AEH+∠BAC=90°，即可；
（2）利用（1）的結(jié)論和AH=DH求出∠DAH，用角的差即可求出∠CAD；
（3）先由全等三角形的性質(zhì)得出CE=CB₁，從而判斷出∠HEB₁=∠HB₁E即可得出HE=HB1，即可判斷出△AEH≌△DB₁H，即可得出結(jié)論．

解答 解（1）∵兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，
∵∠DFE=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠DEF+∠BAC=90°，
∵∠DEF=∠AEH，
∴∠AEH+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AB⊥DE，
故答案為：⊥；
（2）由（1）知，DE⊥AB，
∴∠AHD=90°，
∵AH=DH，
∴∠HAD=∠ADH=45°，
∵∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠DAH-∠BAC=15°；
（3）如圖3，連接B₁E，
由折疊得，CE=CB=CB₁，∠A=30°，
∵∠ACD=90°
∴∠CEB₁=∠CB₁E=45°，
由題意知，∠CED=∠AB₁C=60°，∠A=∠D=30°，
∴∠HEB₁=∠HB₁E=15°，
∴HE=HB1，
在△AEH和△DB₁H中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠AHE=∠DH{B}_{1}}\\{EH={B}_{1}H}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△DB₁H，
∴AH=DH，
故答案為：=．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出DE⊥AB．