Question

8．如圖，已知矩形ABCD中AB=2，AD=2$\sqrt{3}$，頂點(diǎn)B在y軸上，頂點(diǎn)C在x軸上移動．當(dāng)矩形的外接圓與x軸相切時，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接BD、AC，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD的長，根據(jù)切線的性質(zhì)和EC=CD=ED=2，求出∠DCH=30°，求出DH和CH，得到答案．

解答 解：連接BD、AC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD=2$\sqrt{3}$，CD=AB=2，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=4，
∵⊙E與x軸切于點(diǎn)C，
∴AC⊥x軸，
∵EC=ED=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EC=CD=ED=2，
∴∠ECD=60°，∠DCH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=1，CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵∠BCD=90°，∠DCH=30°，
∴BCD=60°，∠OBC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴OH=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的關(guān)系以及勾股定理的運(yùn)用和切線的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．