Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BC=10cm，AD=8cm，E點F點分別為AB，AC的中點．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）求菱形AEDF的面積；
（3）若H從F點出發(fā)，在線段FE上以每秒2cm的速度向E點運動，點P從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向C點運動，問當(dāng)t為何值時，四邊形BPHE是平行四邊形？當(dāng)t取何值時，四邊形PCFH是平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，證得點D是BC的中點；根據(jù)三角形的中位線定理，即可證得：DE∥AC，DF∥AB，根據(jù)題目中的條件，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)中位線定理，即可求出線段EF的長度；根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，即可求出菱形面積；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊相等，列出關(guān)于t的方程，求出t即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D為BC的中點，
∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，
∴DE和DF是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，AB=AC，
∴AE=AF∴平行四邊形AEDF是菱形；
（2）解：∵EF為△ABC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵AD=8，AD⊥EF，
∴S_菱形AEDF=$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}$×8×5=20；
（3）解：∵EF∥BC
∴EH∥BP，
若四邊形BPHE為平行四邊形，則需EH=BP，
∴5-2t=3t，解得：t=1，
∴當(dāng)t=1秒時，四邊形BPHE為平行四邊形，
∵EF∥BC，
∴FH∥PC，
若四邊形PCFH為平行四邊形，則需FH=PC，
∴2t=10-3t，解得：t=2，
∴當(dāng)t=2秒時，四邊形PCFH為平行四邊形．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，解決此類問題，需要將各知識點融合，熟練應(yīng)用相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵．