Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓的中點(diǎn)，連接CA，E是弦CD上一點(diǎn)，CE=CA，連接AD．
（1）求證：AE平分∠BAD；
（2）連接OE，若AB=10，AD=6，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=∠BAC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證明即可；
（2）連接BD，作EF⊥BD于D，OG⊥BD于G，EH⊥OG于H，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念得到E是△ADB的內(nèi)心，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵C是半圓的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠ADC=∠BAC，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA，又∠CEA=∠ADC+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAE，即AE平分∠BAD；
（2）解：連接BD，作EF⊥BD于D，OG⊥BD于G，EH⊥OG于H，
由勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
∵C是半圓的中點(diǎn)，
∴DC平分∠ADB，又AE平分∠BAD，
∴E是△ADB的內(nèi)心，
∴EF=$\frac{6+8-10}{2}$=2，
∵∠CDB=45°，
∴DF=EF=2，
∵OG⊥BD，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴FG=2，
∴EH=FG=2，
∵OG是△BAD的中位線，
∴OG=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴OH=1，
∴OE=$\sqrt{E{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理、三角形的內(nèi)心、三角形中位線定理，掌握三角形的內(nèi)接圓的半徑的求法是解題的關(guān)鍵．