Question

2．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A（1，0）和B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，2）點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)．連接AC，AD．
（1）求拋物線的解析式．
（2）P是拋物線上一點(diǎn)．若∠PDA與∠OAC互余，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在拋物線對(duì)稱(chēng)軸l上是否存在一點(diǎn)Q．使△QAD為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b，c的值，然后可得到拋物線的解析式；
（2）先求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，從而可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得AC、AD、CD的長(zhǎng)，可證明△CAD為直角三角形，故此可知∠DAB與∠CAO互余，只要角∠PDA=∠DAB即可，如圖1所示當(dāng)PD∥AB時(shí)，可求得點(diǎn)P與點(diǎn)C重合；如圖2所示：作AD的垂直平分線交x軸與點(diǎn)G，作射線DG交拋物線與點(diǎn)P，交AD與點(diǎn)E．依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后再求得EG的解析式，可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，接下來(lái)，求得DG的解析式，最后將DG的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，y）．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD²=（5-1）²+（2-0）²=20，AQ²=（2.5-1）²+y²，DQ²=（5-2.5）²+（y-2）²．然后分為AD²+AQ²=DQ²時(shí)；AD²+DQ²=AQ²時(shí)；當(dāng)AQ²+DQ²=AD²時(shí)三種情況列方程求解即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得：b=-$\frac{5}{2}$，c=2．
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2．

（2）如圖1所示：

將x=0代入拋物線的解析式得：y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，2）．
令y=0得：
拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{5}{2}$，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x=-$\frac{5}{2}$對(duì)稱(chēng)，
∴依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵AC²+AD²=AD²，
∴△ACD為直角三角形．
∴∠CAO+∠DAB=90°．
又∵∠OCA+∠CAO=90°，
∴∠OCA=∠DAB．
∴當(dāng)∠PDA=∠DAB時(shí)，∠PDA與∠OAC互余．
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠DAB．
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．
如圖2所示：作AD的垂直平分線交x軸與點(diǎn)G，作射線DG交拋物線與點(diǎn)P，交AD與點(diǎn)E．

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1）．
設(shè)AD的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$．
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
設(shè)直線EG的解析式為y=-2x+n，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：-6+n=1，解得n=7，
∴直線EG的解析式為y=-2x+7．
將y=0代入得：-2x+7=0，解得：x=3.5．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3.5，0）．
設(shè)DG的解析式為y=ax+m，將D和G的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3.5a+m=0}\\{5a+m=2}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{4}{3}$，m=-$\frac{14}{3}$．
∴直線DG的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{14}{3}$．
將y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{14}{3}$與y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2聯(lián)立解得：x=5或x=$\frac{8}{3}$，
當(dāng)x=$\frac{8}{3}$時(shí)，y=-$\frac{10}{9}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．

（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，y）．
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD²=（5-1）²+（2-0）²=20，AQ²=（2.5-1）²+y²，DQ²=（5-2.5）²+（y-2）²．
當(dāng)AD²+AQ²=DQ²時(shí)，（2.5-1）²+y²+20=（5-2.5）²+（y-2）²，解得：y=-3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-3）．
當(dāng)AD²+DQ²=AQ²時(shí)，20+（5-2.5）²+（y-2）²=（2.5-1）²+y²，解得：y=7，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，7）．
當(dāng)AQ²+DQ²=AD²時(shí)，（2.5-1）²+y²+（5-2.5）²+（y-2）²=20，解得：y=1±$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-3）或（$\frac{5}{2}$，7）或（$\frac{5}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理的逆定理，依據(jù)勾股定理的逆定理列出關(guān)于y的方程是解題的關(guān)鍵．