Question

12．如圖，M，N是正方形ABCD的邊BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足BM=CN，連結(jié)AC交DN于點(diǎn)P，連結(jié)AM交BP于點(diǎn)Q，若正方形的邊長(zhǎng)為1，則線段CQ的最小值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 首先證明的Q在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接OC與⊙O交于點(diǎn)Q′，此時(shí)CQ′最小，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ACB=∠ACD=45°
在△ABM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABM=∠DCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCN，
∴∠BAM=∠CDN，
在△CPB和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=CP}\\{∠PCB=∠PCD}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△CPD≌△CPB，
∴∠CDP=∠CBP=∠BAM，
∵∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠BAM+∠ABP=90°，
∴∠AQB=90°，
∴點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于點(diǎn)Q′，此時(shí)CQ′最小，
∴CQ′=OC-OQ′=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、圓、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，找到點(diǎn)Q的位置，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．