Question

5．如圖，四邊形ABCD是正方形，DE∥AC，CE=AC，EC的延長線DA的延長線交于F，連AE交CD于P，作CG⊥DE于G，則下列結(jié)論：①AE平分∠CED；②S_△ADP=S_△EPC；③∠F=∠EAC；④CE=2CG．其中正確的說法有（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通過證明∠AED=∠AEC，即可得到AE平分∠CED；根據(jù)平行線之間的距離處處相等，即可得到S_△ADC=S_△AEC，進(jìn)而得到S_△ADP=S_△EPC；通過計(jì)算得到∠F=15°，∠CAE=$\frac{1}{2}$ACF=15°，進(jìn)而得出∠F=∠EAC；根據(jù)Rt△CEG中，∠CEG=30°，即可得出CE=2CG．

解答 解：∵DE∥AC，CE=AC，
∴∠AED=∠CAE，∠AEC=∠CAE，
∴∠AED=∠AEC，
即AE平分∠CED，故①正確；
∵AC∥DE，
∴S_△ADC=S_△AEC，
∴S_△ADC-S_△APC=S_△AEC-S_△APC
即S_△ADP=S_△EPC，故②正確；
∵∠CDG=∠ACD=45°，CG⊥DE，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∵Rt△ACD中，AC=$\sqrt{2}$CD，Rt△CDG中，CD=$\sqrt{2}$G，
∴AC=2CG，即CE=2CG，
∴Rt△CEG中，∠CEG=30°，
∴∠ACF=∠CEG=30°，
又∵∠CAD=45°，
∴∠F=∠CAD-∠ACF=45°-30°=15°，
又∵∠CAE=$\frac{1}{2}$ACF=15°，
∴∠F=∠EAC，故③正確；
∵Rt△CEG中，∠CEG=30°，
∴CE=2CG，故④正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：正方形兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．