Question

5．如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=EB，MN=1，線段MN的兩端在CB、CD上滑動，當△AED與N、M、C為頂點的三角形相似時，CM的長為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理求出DE的長，分△AED∽△CNM和△AED∽△CMN兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為2，AE=EB，
∴AE=1，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
當△AED∽△CNM時，$\frac{AD}{CM}$=$\frac{DE}{MN}$，即$\frac{2}{CM}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，
解得CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
當△AED∽△CMN時，$\frac{AE}{CM}$=$\frac{DE}{MN}$，即$\frac{1}{CM}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，
解得CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，掌握相似三角形的對應邊的比相等是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．