Question

11．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是對角線BD上的兩個點，請在題目中添加合適的條件，就可以證明：AP=CQ．
（1）你添加的條件是BP=DQ；
（2）請你根據(jù)題目中的條件和你添加的條件證明AP=CQ．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，得出∠ABP=∠CDQ，由SAS證明△ABP≌△CDQ，即可得出結論；
（2）同（1）．

解答 （1）解：添加條件BP=DQ；理由如下：
：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
在△ABP和△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠ABP=∠CDQ}&{\;}\\{BP=DQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（SAS），
∴AP=CQ．
故答案為：BP=DQ；
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDQ，
在△ABP和△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠ABP=∠CDQ}&{\;}\\{BP=DQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDQ（SAS），
∴AP=CQ．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．