Question

1．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+x的頂點為A，經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B．在拋物線上求點M，使△AOB的面積是△MOB面積的2倍．

Answer 1

分析 設(shè)M（t，-$\frac{1}{4}$t²+t），通過解方程-$\frac{1}{4}$x²+x=0可得到B（4，0），再把解析式配成頂點式得到A（2，1），則根據(jù)三角形面積公式得到S_△AOB=2，由于△AOB的面積是△MOB面積的2倍，所以$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{1}{4}$t²+t|=$\frac{1}{2}$×2，然后解方程-$\frac{1}{4}$t²+t=$\frac{1}{2}$和方程-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{2}$求出t的值即可得到M點坐標．

解答 解：設(shè)M（t，-$\frac{1}{4}$t²+t），
當y=0時，-$\frac{1}{4}$x²+x=0，解得x₁=0，x₂=4，則B（4，0），
而y=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，則A（2，1），
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
因為△AOB的面積是△MOB面積的2倍，
所以$\frac{1}{2}$×4×|-$\frac{1}{4}$t²+t|=$\frac{1}{2}$×2，
則-$\frac{1}{4}$t²+t=$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{2}$，
解方程-$\frac{1}{4}$t²+t=$\frac{1}{2}$得t₁=2+$\sqrt{2}$，t₂=2-$\sqrt{2}$，此時M點坐標為（2+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）；
解方程-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{2}$得t₁=2+$\sqrt{6}$，t₂=2-$\sqrt{6}$，此時M點坐標為（2+$\sqrt{6}$，-$\frac{1}{2}$）或（2-，-$\frac{1}{2}$）；
所以滿足條件的M點的坐標為（2+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$）或（2+$\sqrt{6}$，-$\frac{1}{2}$）或（2-，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．