Question

2．有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連結(jié)BD、MF，此時(shí)他測(cè)得AF=2cm，∠ADB=30°．
（1）在圖1中，直線MF和BD的位置關(guān)系為MF⊥BD；
（2）小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°）
①當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)；
②請(qǐng)直接寫出當(dāng)△AB₁D₁和△AMF的重疊部分為三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角的取值范圍，并求出當(dāng)β=30°時(shí)，△AB₁D₁和△AMF重合部分的面積．

Answer 1

分析 （1）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進(jìn)而可得∠DNM的大�。�
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（3）先判斷出重疊部分是三角形是剛開始旋轉(zhuǎn)到BD剛好過點(diǎn)M，即可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出△AB₁M是等邊三角形即可得出結(jié)論，最后根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出AM，MK用三角形餓面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）BD⊥MF．
延長(zhǎng)FM交BD于點(diǎn)N，
由題意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．
故答案為：BD⊥MF；
（2）當(dāng)AK=FK時(shí)，∠KAF=∠AFM=30°，
則∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②當(dāng)AF=FK時(shí)，∠FAK=$\frac{180°-∠AFM}{2}$=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度數(shù)為60°或15°
（3）如圖3，
△ABD在旋轉(zhuǎn)的過程中，剛開始旋轉(zhuǎn)，△AB₁D₁和△AMF的重疊部分為三角形，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角β＞0°
BD邊旋轉(zhuǎn)到剛好過點(diǎn)M時(shí)，重疊部分也是三角形，此時(shí)，AM=AB，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴∠ABD=60°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠AB₁D₁=∠ABD=60°，
∴△AB₁M為等邊三角形，
∴∠B₁AM=60°，
∴∠BAB₁=30°，即β=30°，
∴0°＜β≤30°，
當(dāng)β=30°時(shí)，△AB₁D₁和△AMF重合部分是三角形，如圖3，△AMK，
∵∠B₁AM=60°，
∴∠MAK=30°，
∵∠AMF=60°，
∴∠AKM=90°，
在Rt△AMF中，∠AFM=30°，AF=2，
∴AM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AMK中，∠MAK=30°，AM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴MK=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AK=$\sqrt{3}$MK=1，
∴S_△AMK=$\frac{1}{2}$MK×AK=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
即：當(dāng)β=30°時(shí)，△AB₁D₁和△AMF重合部分的面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的同時(shí)要靈活運(yùn)用．