Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C都在坐標(biāo)軸上，AO=BO=CO，BC=8．
（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4）．
（2）過點(diǎn)C作x軸的垂線l，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著直線l向上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P的速度是1個(gè)單位/秒，時(shí)間是t，連接PA、PB，請(qǐng)用含t的式子表示S_△PAB．
（3）在（2）的條件下，連接AP，以AP為斜邊，在AP下方作等腰直角△APD，連接BD并延長至點(diǎn)Q，連接PQ、QC，當(dāng)點(diǎn)D為BQ中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷△PCQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出OB=OB=OA=4，即可得出結(jié)論；
（2）先確定出OA=OB=OC=4，PC=t，再分兩種情況利用圖形面積的和差計(jì)算（用到三角形的面積公式和梯形的面積公式）即可；
（3）先判斷出點(diǎn)D是以過點(diǎn)A，C，P的圓的圓心，即可得出點(diǎn)D既在PC的中垂線上，也在AC的中垂線上，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵OB=OC，BC=8，
∴OB=OC=4，
∵OA=OB=4，
∴A（0，4），
故答案為：0，4；
（2）∵OC=4，
∴C（4，0）．
∵PC⊥BC，
∴P（4，t），
∴OA=OB=OC=4，PC=t，
①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖1，

S_△PAB=S_△AOB+S_梯形AOCP-S_△BCP
=$\frac{1}{2}$OA×OB+$\frac{1}{2}$（OA+PC）×OC-$\frac{1}{2}$BC×PC
=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$（4+t）×4-$\frac{1}{2}$×8×t
=-2t+16，
②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖2，

S_△PAB=S_△PBC-S_△AOB-S_梯形AOCP
=$\frac{1}{2}$BC×PC-$\frac{1}{2}$OA×OB-$\frac{1}{2}$（OA+PC）×OC
=$\frac{1}{2}$×8×t-$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$（4+t）×4
=2t-16，
綜上所述，S_△PAB=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+16（0＜t＜8）}\\{2t-16（t＞8）}\end{array}\right.$，
（3）∴△PCQ是等腰直角三角形；
理由：如圖3，

由（2）知，B（-4，0），A（0，4），C（4，0），P（4，t），
∵PC⊥BC
，∴∠OCP=90°，
∵OA=AC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ADP=90°，
∴點(diǎn)D是以過點(diǎn)A，C，P的圓的圓心，
∴點(diǎn)D既是AC的中垂線上，也在PC的中垂線上，
∴點(diǎn)D的從縱坐標(biāo)為$\frac{t}{2}$，
∵OA=OC，
∴AC的中垂線的解析式為y=x，
∴點(diǎn)D在此直線上，
∴D（$\frac{t}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵點(diǎn)D為BQ中點(diǎn)，且B（-4，0），
∴Q（t+4，t），
∵P（4，t），
∴PQ∥BC，PQ=PC=t，
∴∠CPQ=∠OCP=90°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，幾何圖形的面積，等腰直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)D既是AC的中垂線上，也在PC的中垂線上．